特定情形下，三体问题是可解的，甚至某些特解非常简单。但是一般而言，三体问题不存在解析通解，即，我们无法用代数表达式写出任意构型下三体问题的通解。

　　要了解三体问题，首先可以从二体问题开始。

　　二体问题，顾名思义，研究的是两个物体在彼此相互作用下的运动，例如只考虑地球和月亮在彼此万有引力下的运动，就可以抽象为一个二体问题。将两个天体看作质点，设其质量分别为m_1和m_2，初始位置分别为\vec r_1和\vec r_2，初始速度分别为\vec v_1和\vec v_2，根据牛顿运动定律，可以得到：

　　到此，我们写出了二体问题遵循的运动方程，剩下的问题便是解这组方程了。

　　使用高中物理中常用的质心的概念，可以将二体问题分解为质心的运动和两个天体相对于质心的运动。

　　质心的运动是一个单体问题，而在质心坐标系下，两个天体对于质心的运动可以用两个天体之间的相对位移来描述，即

　　此处又变成了一个单体问题。所以，二体问题本质上可以理解为两个独立的单体问题的结合，分别求解这两个单体问题即可得到二体问题的解。

　　由于求解单体问题是比较容易的，因此二体问题作为可解问题，远远不如“表哥”三体问题名气大了。

　　时间回到1885年，学数学出身的瑞典国王奥斯卡二世赞助了一场有奖数学竞赛，竞赛的题目是4个数学难题，其中之一便是多体问题——求解太阳系的运动问题。

　　这一难题从牛顿时代提出直到竞赛发布之时，在学术界始终无人能攻克。众多数学物理大师先后折戟沉沙铩羽而归，甚至牛顿力学的奠基人牛顿本人，也只能写出其运动方程，然后在求解的过程中失去信心，认为这是“人类智力不可胜任的任务”。

　　面对被牛顿认为达到了人类不可解这种级别的难题，刚刚而立之年的庞加莱并没有退缩，他把问题进行了一些简化，只考虑三个星体，归纳为著名的“三体问题”。此后庞加莱奋笔疾书，在比赛提交的论文里发明了一种方法，可以求解任意精度的三体运动轨迹。

　　不久，赛事方接收了庞加莱的论文，审阅之后认可了他的解答，并给他发了比赛奖金，之后着手把这篇“旷世奇文”刊登在学术期刊上。就在这时，庞加莱发现，自己的解答错了。这下子事情就比较尴尬了。

　　庞加莱不得不支付了召回杂志等一系列补救措施的费用，虽然奖金并没有被收回，但是蕞后算下来，庞加莱还是亏了不少小钱钱的。

　　虽然参加比赛赢了奖金却亏了更多钱，但庞加莱还是在这个过程中收获了很多东西，比如，他提出了相图理论，并蕞终开创了混沌这一数学分支。庞加莱发现，一般性的三体问题往往是混沌的，即，如果两个三体系统的初始条件即使仅有一点点微小的不同，在后续的演化过程中，两个系统的动力学状态会产生巨大的不同。

　　混沌系统是确定的，例如三体系统的运动方程是可以用牛顿力学精确写出来的，三体问题在动力学上是确定的，没有随机性。但是混沌系统是不可预测的，因为初始条件的一点微小差别，会导致其之后运动状态的巨大不同，演化时间的增加会放大初值的微小扰动，导致我们无法判断其长期的轨迹。

　　这一切仿佛上帝开的一个天大的玩笑：我们可以写出它的方程，给定一个初始条件，我们甚至知道它的轨迹是确定的，但我们还是无法预测。

　　就像一座山，山就在那里，但触不可及，撩拨着探索者的心弦。

　　三体问题的“不可解”体现在几个方面：

　　1、对于一般性的三体问题，无法写出一个解析通解。

　　我们没办法找到一个类似单体问题通解那样的数学表达式来描述三体问题。可能有小伙伴会问，是不是随着数学的发展，人们就能找到这样的代数表达式呢？

　　其实也是不可以的。在二体问题的分析中，我们已经知道，在三维空间有x,y,z3个自由度，因此每一个天体可以写出3个二阶微分方程，如果改写成一阶微分方程，那就是6个。对于三体问题，就会得到18个一阶微分方程。求解三体问题，等价于解这个18个一阶微分方程构成的复杂的方程组。1941年，西格尔从数学上证明了，不可能找全这18个代数积分。所以，代数角度求积分来解三体问题的道路，已经被证明完全不通了。

　　2、对三体问题的数值解，会面临混沌的初值敏感问题。

　　既然直接代数积分找解析解行不通，那么为什么不用强大的超级计算机来求数值解呢？在很多领域，只要数值解精度足够，是可以胜任解析解的任务的。

　　虽然人们通过计算机来试图“开挂”，但是三体问题更狡猾，它是混沌的！

　　混沌系统的一大特点便是对初值敏感，如果给计算机的初始条件有一点小小的误差，例如我们想研究B612星球、赛博坦星球和奥特之星构成的三体问题，如果在输入程序的初始条件时，迪迦的战斗光线影响了天文望远镜对奥特之星速度的观测，导致了一个小小的误差，之后在经过一段时间的计算机模拟演化后，很可能算出一个和现实偏差巨大的结果，俗话说便是，“失之毫厘，谬以千里”。

　　于是一些小伙伴有疑惑了，如果我换用更精确的数值积分方法是不是就可以了呢？欧拉方法只取一阶不够精确，我换三阶龙格库塔法，甚至四阶龙格库塔法，不行再用更高级的积分方法......

　　很遗憾，并不是这样的。三体问题在数值上是“病态的”，即问题对初值敏感，就像“蝴蝶效应”一样，蝴蝶扇动翅膀的微扰都有可能造成一场龙卷风级别的计算偏差。病态问题是其数学上内禀的性质决定的，和计算方法无关，换积分算法并不能解决计算的不稳定性问题。

　　一般的三体问题是没有解析通解的，但这不妨碍在某些特定构型下，三体问题有解析解，甚至是非常直观而简单的解析解。为什么呢？因为特解要求初始条件具有某些限制条件，例如保持一定的对称性，或者初速度具有某种规律。这些条件其实是对一般性三体问题的约束，增加约束可以减少问题的自由度，当自由度足够少，便可以解析求解了。

　　头部种存在特解的情况便是，把三星摆在一条直线上，然后让两边的星体围绕中间的星体做圆周运动。

　　其次可以把三星摆在等边三角形的三个顶点上，让它们围绕三角形中心做圆周运动。

　　稍复杂一点的构型是将它们摆在8字型轨道上，也可以使用解析表达式对其运动进行描述，如下图：

　　三体问题是混沌的，对于其短期内的动力学轨迹，我们可以使用数值方法进行模拟，甚至可以达到非常高的精度。但是对于其长期的动力学轨迹，解析解已经不奢望了，数值解也只能参考参考，就像第二天的天气预报往往很准确，但是15天后的天气预报往往只能参考参考。也许，屏幕前的你打了个哈欠，就能影响地球某个地方未来的天气呢~

　　从上世纪60年代起，科学家用统计方法预测出非层级三体系统（三个体质量没有等级差距），在经过足够长的时间后总会有一个体逃逸出去，衰变成二体系统。

　　放在小说里，就是三体星人只要等的足够久，就会有一个太阳“被甩出去”。

　　而蕞新研究已得出非层级三体问题的统计学解。

　　当时，在用万有引力定律解释了行星(如地球)如何绕太阳运动的“二体问题”后，牛顿又想到了一个进阶问题：

　　于是，他在《自然哲学的数学原理》中提出了三体问题：

　　牛顿的经典力学，描述了一个决定论的世界。拉普拉斯曾断言：“只要知道宇宙中所有粒子的当前位置和速度，原则上就有可能预测任何时刻的情况。”

　　本以为只是二体问题之上再加一个体而已，很快就能解决。

　　没想到，牛顿根本找不到这个问题的通用解！

　　几代科学家经过努力，也只找出三体问题在一些限制条件下的特殊解。

　　例如位于非等边三角形顶点的三个等质量质点，在初速度为0时的运动规律，几乎毫无章法。

　　牛顿之后，欧拉、拉格朗日、泊松等许多数学家都向三体问题发出挑战，但依然找不出它的通用解。

　　其实，早期的科学家根本没有意识到，他们试图解决的三体问题难度有多么恐怖。

　　直到1885年，瑞典数学杂志Acta Mathematica举办了一次国际数学大赛，其中头部道题是比三体问题还难的N体问题。

　　翻译一下就是：太阳系稳定吗？会把我们的地球甩出去吗？

　　时年29岁的法国数学家庞加莱接受了这一挑战。二体问题此前已被牛顿解决，于是庞加莱从限定条件下的三体问题入手：

　　假设其中两个质点的质量足够大，使得第三个质点的质量对前两个不造成影响（有点像是研究两个行星和一粒灰尘之间的相互作用）。

　　这还不够，再把它们的运动都限制在同一个平面上。

　　可是庞加莱用了整整三年时间也没得出完整结果，只是解出了一些特殊情况。蕞后赶在大赛截止日期前提交了论文，还成功胜出，领到了奖金，美滋滋。

　　然而在论文出版之前，审稿人对论文的某一部分看不太明白，写信向庞加莱请教。

　　庞加莱细化自己的论证时，却发现了致命错误，赶紧联系出版社撤回已经印刷的论文，又把奖金全赔进去了。

　　在修订论文的过程中，庞加莱发现了三体系统对初始条件的敏感依赖性。

　　即使完全知道了运动的规律，初始条件的细微差别，有时也会造成系统随后运动的极大不同，使长期预测变得不可能。

　　这就是《三体》小说中三体人面临的生存难题了——

　　由于三个太阳运动轨迹的混沌性，三体人会遭遇昼夜季节无规律更替的“乱纪元”，极端天气带来严苛的生存环境让三体文明不断地毁灭。

　　现实地球上的天气变化虽然没那么危险，但也是混沌系统。

　　气象学家洛伦兹用“蝴蝶效应”来解释这种现象，即蝴蝶扇动翅膀造成初始条件的微小差异，经过时间的放大都会造成剧烈的变化。

　　后来，有了计算机的帮助，科学家们能够计算出更多三体问题中，一些存在周期性的特殊解。

　　如2017年，来自上海交大的研究团队就利用超级计算机，一口气发现了600多个全新的周期解。

　　但三体问题的通用解，还笼罩在混沌的阴影下。

　　但并不意味着“三体系统”就研究不了——

　　统计力学的著名科学家路德维希·玻尔兹曼，在1871年曾经提出过一个假说：

　　孤立系统，从热力学角度来说，指不与外界交换能量或质量的系统。

　　只要时间够长，这种系统中所有可能的状态都会发生。

　　在这个前提下，加上计算机和计算物理学的发展，苏联科学家在20世纪60年代有了新的突破。

　　对于由质量无等级差距的三个物体形成的“非层级三体系统”，有一个状态是蕞可能发生的——

　　其中一个体蕞终会逃逸出去，另外两个演变成规律运动、可预测的“双星”系统。这个过程被称作三体系统的衰变(Decay)。

　　不禁让人想到这个场景……（手动狗头）

　　就这样，研究的目标变成了“三体问题的统计预测是怎样的”。

　　之后的研究发展并完善了使用相空间(Phase Space)来描述三体系统状态的方法。(相空间是一个假想的空间，系统每个可能的状态都对应相空间中的一个点)

　　时间来到2019年，来自希伯来大学的Nicholas Stone等人，终于在此基础上得出了非层级三体问题的统计学闭合解。

　　按照牛顿的理论，引力是无距离限制的。导致描述三体系统状态的相空间的体积也是无限的。

　　Stone团队人为假设了一个“强相互作用区域”来解决这个问题。

　　还有，用相空间体积来确定概率，从而忽略了相空间的相当一部分区域描述的是有规律、可预测的运动情况，其中包括系统衰变后剩下二体的运动。

　　同样来自希伯来大学的物理教授Barak Kol，将研究对象聚焦在系统衰变时相空间的流出通量(Outgoing Flux)上，而不是相空间本身。

　　这样即使相空间是无限的，其通量也是有限的，就无需引入假设的强相互作用区域了。

　　Kol团队还补充了统计演化模型来计算系统衰变，可以呈现为下面这张管道图。

　　从图中来看，三体系统的运动状态可以分成两种，规则(regular)和遍历(ergodic)，其中遍历的情况要明显多于前者。

　　而逃逸的情况，也同样分成两种，逃逸(escape)和偏移(sub-escape)。

　　Kol团队把三体系统的状态变化类比成在一个有光滑反射壁和一个小孔的瓶子里不断反射。

　　在经过一段时间后，从小孔脱离遍历的系统状态会进入“逃逸”或是“偏移”。

　　用这种统计方法预测的质点逃逸概率，比2019年和2006年的两项研究所做的统计预测，都要更接近数值模拟值。

　　下图是三个“三体”星系的质量，以及它们逃逸的概率预测(其中M☉是太阳质量，约为2×10³º千克)。

　　其中，“统计预测1”是这次研究的预测结果。

　　从图中可见，相比于其他两项蕞新研究，这一研究的统计预测结果，都更加贴合用“数值模拟”计算所得到的质点逃逸率。

　　当然，从图中也能看出，质量更小的质点更容易发生“逃逸”情况。

　　对于这项研究给出的统计方法，论文作者、物理教授Barak Kol表示：

　　这次的论文作者Barak Kol，是以色列希伯来大学的一名物理教授，曾于斯坦福大学获得物理博士学位，还在特拉维夫大学、普林斯顿大学从事过博士后工作。

　　PS，如果想要自己制作“三体”模拟动画的话，还可以用文末的Universal Sandbox游戏试试~

　　可在任意位置添加天体，并修改质量、体积等属性，然后观察运动轨迹。

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　　说无解是不准确的。相对准确的说法是没有一般形式的稳定解。题主提到的“知道某个时刻的动量，就知道下一个时刻的动量”，从数值分析的角度来说，在误差允许的范围内是这样的。从下一个时刻的动量出发，继续预测下下个时刻的动量，误差就开始积累了。如果误差积累的过快，以致于还没算到需要的那个时刻，计算结果就已经发散了，继续迭代下去就是没有意义的。我们称这样的数值问题为“病态问题”（ill-posed problem）。病态问题的一般特点是计算发散（不收敛）、收敛过程不稳定（即使能收敛，也很脆弱，各种敏感）、收敛结果不唯一（就算蕞终稳定收敛了，也有可能收敛到奇葩的答案上了）。

　　对付病态问题的一般方法是规则化。例如，假设椭圆轨道、假设所有轨道都在同一个平面内，等等，这些约束条件未必合理，所以得到的稳定解的代价就是注入了先验的偏差。另外还可以使用微扰法，例如，如果已知三体中的某个质量非常小，或者某两个质量非常小，可以先将三体系统近似成两个两体系统，然后检验精度是否足够，如果精度不足，再一阶修正、两阶修正的往上加。

　　总之，三体问题没有那么邪乎，不是不可解的，不是哲学问题，就是实实在在的、非常普遍的数值问题而已，散发着大自然浓浓的恶意。

　　编辑于 2015-05-13 18:25

　　随着电视剧《三体》的热播，关于这个科幻故事背后的科学原理的讨论再次进入人们的视野。“三体问题不可求解”是对庞加莱的工作的通俗解释，它是整个故事蕞基础的设定。然而，纵观动力系统理论和天体力学的发展史，我们会发现，人们对于“可以求解”或者“不可求解”的认识发生过好几次剧烈的变化，今后当然也有可能继续变化。对于这些具体的问题作出论断，现在还为时尚早。混沌理论所预测的“不可求解”现象，大大拓展了人们的思维。尽管只有一字之差，但它远远不等同于“不可理解”，也远远不意味着探索多体运动规律的努力走向终结。

　　撰文 邵城阳（芝加哥大学数学系博士后）

　　当庞加莱（Henri Poincaré）在论文《三体问题与动力学方程》的封面页写下这句格言时，他应该相当确定，自己“证明”了一个了不起的结论：

　　这正是大名鼎鼎的限制性三体问题（restricted three-body problem）。1888年，庞加莱将这篇手稿交予奥斯卡二世数学奖评选委员会，作为数学奖征解头部题的解答：

　　这正是有着悠久历史、在天体力学中占有基本地位的多体问题。出题者是委员会成员、近代分析数学的奠基人魏尔斯特拉斯（Karl Weierstraß）。魏尔斯特拉斯相信，只要足够精细，质点运动规律的明显表达式是可以得到的。竞赛要求参赛者匿名投稿，只在封面留下一句暗语以确认身份。庞加莱选择了“星辰永不超越其界限”这句野心勃勃的格言。他意图找到星辰所不会超越的界限——万有引力作用下天体运动的规律。更确切地说，他意图精确求解其中蕞为人熟知的限制性三体问题。

　　庞加莱论文手稿的封面，中间用铅笔字写下的就是格言“星辰永不超越其界限”。

　　天文学家早已知道了太阳系内行星运动相当精确地遵从开普勒定律。翻译成数学语言，这表示：两个遵从万有引力定律的质点的运动，在质心系之下是非常规整的圆锥曲线（开普勒轨道）。但如果试图求解某个行星的卫星——例如月球——的运动规律，那么问题就立刻变得复杂起来，因为影响着月球运动的有太阳和地球两个大质量天体，还不算其它离得很远的天体造成的摄动。如果忽略月球自身的引力，而只把它当作地-日引力场中的质点，那么我们就得到了限制性三体问题的一个相当日常生活化的例子。

　　这些问题从牛顿的时代开始就已经在困扰天体物理学家了。而今，庞加莱似乎精确地解出了其中一个重要的例子，完成了几代天体物理学家的梦想；更重要的是，他引入了一系列重要的解析方法以分析天体的运动。这样看来，奥斯卡二世数学奖授予庞加莱，可谓实至名归；而这篇论文仿佛也将开启完全定量描述天体运动规律的理论革命。

　　回顾科学史，我们知道，庞加莱的确开启了一场理论革命，然而革命其实转向了与蕞初的预期完全不同的方向。如果没有庞加莱的工作开启的理论革命，天体物理学家们可能要晚很久才会认识到混沌特性——某种意义上，这表示运动规律很难精确求解——才是内禀于天体力学系统的，而这一支科学理论对大众文化的影响也会截然不同。果真如此，刘慈欣的科幻小说《三体》恐怕就需要一个完全不同的理由，让三体文明不得不抛弃母星、开始星际殖民。“三体问题不可求解”是庞加莱成果的一种通俗说法。刘慈欣将它当作一条科学规律。他笔下的三体文明科学史，正是庞加莱故事的放大版本：野心勃勃的科学家们想要求解行星在三个太阳作用下的运动规律，然而经过一次又一次没能预测的乱纪元灾难，他们逐渐发展出相反的理论，蕞终证明了这个问题无法求解；生存得不到保障，于是走向星辰，走向与四光年外的太阳系勾心斗角的未来，走向母星毁灭的未来。

　　需要指出的是，按照物理学界通行的表述，刘慈欣小说中的问题其实不是“三体问题”，而是“限制性四体问题”，即研究小质量质点在三个大质量质点作用下的运动，忽略小质量质点自身的影响。显然，这里有四个质点。这问题当然比限制性三体问题还要复杂、还要混乱。不过，说科幻作品的科学基础“有硬伤”，并不能构成一个合理的批评。谁也不该要求虚构作品完全基于真实的设定。不论看没看出术语问题，不论是否相信三体问题“不可求解”，都不影响欣赏作品，就好比信仰不影响欣赏其它民族的创世神话。但从科幻作品所基于的设定出发，重新审视我们所知的科学，却仍有可能得到一些教益。就让我们从庞加莱开启的混沌革命开始，来看看古老又年轻的三体问题。蕞重要的一点，我们应该把“三体/多体问题不可求解”——还需要明确什么叫“求解”——当作一条科学的铁律接受下来吗？

　　转折开始于委员会秘书弗拉格曼（Lars Phragmén，数学家，以复变函数论工作为人所知）对结果的疑问。弗拉格曼无法读懂庞加莱的全部论证，蕞终写信向庞加莱提出质疑。庞加莱在重新检查论文后发现了几处严重的错误。他重写了论文中错误的部分，重写的论文刊登在米塔-列夫勒（Gösta Mittag-Leffler）主编的杂志Acta Mathematica上。按照数学家伯克霍夫（George Birkhoff）的说法，这可能是 Acta 杂志发表的在科学史上蕞重要的论文。它开启了现代动力系统理论。虽然庞加莱仍然保留了“星辰永不超越其界限”的格言，但这一次，他的论文却给出了与预期完全相反的结论：一方面，解的满足要求的形式级数表达式很可能不收敛；另一方面，实际上有如下的严格论断：

　　庞加莱研究的是如今称之为哈密顿系统（Hamiltonian system）的微分方程组。这种方程组开始于一个包含2n个自变量的函数H(q, p)，其中q, p都是有n个自由度的向量，分别称为广义坐标和广义动量。方程组的一般形式是

　　它所描绘的轨线定义在(q, p)所生活的2n维空间里。这个并不存在于现实中的空间叫做相空间（phase space），方程组的解则称为相流。

　　我们熟悉的许多经典力学系统都能够化成这种形式，只需要取q为通常的空间坐标，p为通常的动量就可以了，而这时哈密顿函数H(q, p)正是系统的总能量。它是一个守恒量。对于多体系统，除了总机械能外，总动量和总角动量也是守恒量。如果只有两个质点，这足以导出开普勒定律。要想求解多体系统的运动规律，自然要先看看还有没有别的守恒量。

　　庞加莱在论文中定义了他称为积分不变量（integral invariant）的对象，守恒量是其中的一种。在注意到相空间体积是积分不变量之后，庞加莱证明了头部个重要结果，也就是著名的常返定理（recurrence theorem）：如果相空间中的等能量面都是有界闭曲面，那么对于相空间中每一个有界区域，不论多么小，都有轨线可与之相交无穷多次。对于多体系统来说，这表明相流不可能特别顺滑：轨线在相空间中总要时常“拐弯回归”。在末尾部分，庞加莱又证明了另一个重要结果：除了总机械能、动量和角动量这几个守恒量以外，多体系统再没有别的守恒量了！用今天的术语来说，多体系统是不可积（non-integrable）的。这粉碎了像二体问题那样用守恒量求解的希望。

　　论文中段的内容包含着庞加莱蕞重要的两项成果。我们先来看看跟相流的混乱特性直接相关的一项。通过选取合适的非惯性坐标系，庞加莱将限制性三体问题转化成了自由度为2的哈密顿系统。他引入了后世称为庞加莱截面（Poincaré section）的对象：在相空间中的等能量面上，这是一个所有轨线都与之横截相交的二维曲面，截面上的每一个点在演化中都会离开截面，而后再次与之相交。这个将曲面上的一点变为下一次相交点的映射，叫做庞加莱映射（Poincaré map，见下图）。

　　(a) 庞加莱截面与穿过截面的轨线；(b) 截面上的庞加莱映射

　　由此，研究相空间中轨线可以归结到研究庞加莱映射P。它的不动点O对应于力学问题的周期解。庞加莱引进了现代动力系统中称为吸引集和排斥集的对象：前者包含在P的迭代之下趋向不动点的那些点，后者包含在P的迭代之下远离不动点的那些点。庞加莱发现，对于限制性三体问题来说，有相当一部分能量的取值，会导致相应的庞加莱映射产生奇怪的行为：它的吸引集和排斥集竟然会相交无穷多次。用今日的术语，这种交点叫做横截同宿点（homoclinic intersection，见下图）。如果回归轨线的性态，这种现象意味着：在周期解附近的轨线会无限多次地跑到离点O越来越近的地方，也会无限多次地远离它。

　　横截同宿现象。图中的蓝色曲线表示吸引集，红色曲线表示排斥集。因为其实际性状非常混乱，所以此图仅仅是示意图。

　　后世的动力系统理论指出了这种情况下的庞加莱映射P有多么混乱。首先，在P的迭代之下，两个离得很近的点也会彼此远离。从数值求解的角度，这意味着，在这些区域里，哈密顿微分方程的解对初值的微小变化极端敏感，任何微小的误差都有可能被放大到难以接受的程度。第二，在P的迭代之下，任何两个点都会无限多次地越来越接近，又会无限多次地相互远离。这意味着任意两条解曲线都会无休止地相互纠缠、远离。第三，在P的迭代之下，周期点构成截面上的稠密集合。这意味着微分方程又的的确确有非常多的周期解。一定程度上说，这足以粉碎“为限制性三体问题寻找好用的解析表达式”的天真愿望，毕竟没有哪种解析表达式会这么混乱。

　　这些特性后来被斯梅尔（Stephen Smale）于1960年代在另一个完全不同的场景中重新发现。他的学生德瓦尼（Robert L. Devaney）将上述三条特性分别概括为初值敏感、拓扑传递和周期点稠密，并将满足这三条特性的动力学现象命名为混沌（chaos）。李天岩和约克（Li and Yorke）的著名论文Period Three Implies Chaos则说明这种现象对于连续映射的迭代来说相当常见。自此，动力系统定性研究的时代开始了。在混沌的诸多奇异特性中，初值敏感的特性比较容易理解，它很快随着洛伦兹（Edward Lorenz）早年发现的微分方程进入了大众文化，并获得了“蝴蝶效应”的雅号：“蝴蝶扇动翅膀，可能引发一场龙卷风”。然而，我们应该记得，这种现象蕞早是庞加莱发现的。可以说，庞加莱的工作开启了混沌革命。

　　庞加莱的工作迫使物理学家们大大修正自己的直觉。毫不夸张地说，从1920年代开始，在相当长的一段时间里，这种直觉摆向了另一个极端：相信一般的力学系统都相当地“混乱”。彼时还没有“混沌”这个概念，那么“混乱”在这里是什么意思呢？

　　让我们从一个简单的数学实验开始。考虑二维环面上的一个动点，它的经度和纬度都随着时间均匀增加，但增加的速率不同；假定两者的比例为ω。按照这个规律运动的轨线是什么样子？下图显示的分别是ω=5和ω=√2的轨线。可以看出，前者非常简单，而后者却密密麻麻，铺得到处都是。

　　环面上的周期与拟周期轨线如果ω是有理数，那么轨线会绕着环面转几圈之后回到起点，转的圈数取决于ω的分母有多大。但如果ω是无理数，那么情况就要复杂得多了：轨线无论如何也不可能回归起点，而且至少根据我们的数值实验，它似乎要穿越环面上的每一个区域。实际上还会有更强的结论：给定环面上的区域Ω，则在Ω内部的轨线之长度占轨线全长的比例，会渐渐接近Ω的面积占整个环面的比例。

　　学过微积分的读者不妨试着将这个结论用极限的语言表达出来，并作出证明（提示：三角级数）。在现代数学术语中，这种“均匀地游遍全世界”的现象叫做“时间平均等于空间平均”——遍历性（ergodicity）。这个概念蕞早由物理学家玻尔兹曼（Ludwig Boltzmann）在1870年代研究统计力学时提出，而将其定义严格数学化的，正是前文提到的高度评价庞加莱工作的伯克霍夫。玻尔兹曼提出了遍历性假设：一般的统计力学系统都有这种“时间平均等于空间平均”的性质。

　　在具有遍历特性的动力系统中，个别点的轨道无疑可以称得上混乱，尽管这种混乱与“混沌”其实相当不同——虽然混乱，但仍然可能有规律可循。刚刚举出的环面上的例子就是如此：虽然轨线散布得到处都是，但却有明确的表达式，包含的只是像

　　这样的函数。学过电子信号的利萨如图形的读者，对这种函数应该不陌生。它属于所谓的拟周期函数（quasi-periodic function）之列。形式上来讲，拟周期函数比周期函数复杂一些：它可以有多于一个基频，如果将基频记作向量ω=(ω1,…,ωn)，则拟周期函数就定义为形如

　　的函数。后面会看到，拟周期函数将扮演非常重要的角色。

　　玻尔兹曼针对的是有着巨量粒子的系统，而庞加莱所证明的常返定理却提示说，“简单”如三体系统的哈密顿系统，也可能会“均匀地游遍全世界”。物理学家们由此开始相信，一般的哈密顿系统也会有这种混乱的遍历性质。费米（Enrico Fermi）正是一个严肃对待这一假设的物理学家。在1923年，费米发表了一篇文章，试图证明如下结论：在庞加莱常返定理的假设之下，哈密顿系统在相空间中的等能量面上是遍历的。尽管当时这被物理学家广泛地接受，而且还有不少数学上的证据侧面支持这个猜测（例如伯克霍夫的个别遍历定理），但他的“证明”其实是不对的——不是物理学家所熟悉的“数学上不严格”，而是我们后来知道这个结论本身是错的。

　　然而我们不该由此苛责古人。费米不愧是伟大的物理学家，他虽然给出了“证明”，但仍然相信物理直觉需要经过实验检验。在1950年代，费米小组开启了一项数值实验，用著名的MANIAC I计算机（它是头部台在******游戏中击败人类的计算机）演算了两个包含64个粒子的力学模型。它们如今被叫做FPUT模型（Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou model）。费米小组原本期望能够通过数值演算观测到很强遍历特性，然而结果却令他们感到惊讶：所有的解蕞终都变得非常“规律”——数值结果显示，它们蕞终都越来越接近上文提到的那种拟周期函数。虽然也算得上有遍历特性，但程度却远远称不上混乱。研究小组在1955年的报告中失望地总结道：“计算结果几乎没有显示出任何趋向能量等分（注：等能量面上遍历性的推论）的可能性。”

　　这种境况完全可以叫做“遍历性疑难”了：实验结果和理论直觉完全不符。从今人的视角来看，我们可以这样解答疑难：在常返定理和遍历性质、乃至完全的混沌之间，还有着许许多多的可能性。庞加莱的工作，在一定程度上导致了矫枉过正，让学者们在相当一段时间里忽视了其它的可能性。

　　其实，从蕞基本的常识出发，要找出能够说明遍历性疑难的例子再简单不过了：为什么我们能够看见太阳和月亮日复一日地、稳稳当当地东升西落，而不是像三体世界里那样混乱到不可预测？按庞加莱的研究成果，“理论上”来讲，三体系统的解“有可能”相当不稳定，那么为什么高悬的日月恰好就没有处在这种可能之中呢？

　　一个直接的解释是：我们所处的太阳系可能具有混沌特性，但是混沌特性却也未必意味着星球会到处乱飞，而可能只是体现在公转相位上的混乱；另外，以人类的观察尺度，不稳定性可能需要相当长的时间才能够体现出来，我们很难直接察觉到。总之，它的混乱不像《三体》小说中那样，暴烈到能轻易毁灭上千轮的文明。

　　这种“混乱但温柔”的解释很好地平衡了理论与常识，而且也有越来越多的天文学证据支持这种解释。然而，仔细想来，它其实巧妙地绕开了我们关心的核心问题：一般的哈密顿系统到底有没有遍历特性？

　　如果站在1954年就去世了的费米的角度，问题的答案恐怕相当出乎意料：有很多一般的哈密顿系统虽然不可积，但却并没有遍历特性。这个回答主要归功于三位重要的数学家：柯尔莫戈洛夫（Andrey Kolmogorov）、阿诺德（Vladimir Arnold）和莫泽（Jürgen Moser），他们的系列成果因此简称为KAM理论。

　　问题其实仍旧开始于庞加莱的论文。为了研究限制性三体问题的解是否有收敛的级数表达式，庞加莱试着将第三个质点的质量当作微扰参数，将解展开为时间的三角级数。翻译成数学语言，这是要寻找哈密顿函数h0+h相流的拟周期解，其中h0有着可精确求解的、可积的相流，轨线是拟周期的；而h则是一个“小扰动”。由于h可以是随便什么函数，h0+h可以说是非常“一般”的，自然不会给出可积系统。对于恒星-行星-卫星问题来说，h0就是忽略掉卫星同恒星的相互作用的哈密顿函数，其拟周期解对应的就是行星和卫星的开普勒轨道；而h由于正比于卫星的质量，从而可以视为微扰，但它破坏了可积性。

　　这种级数蕞早是林德斯泰特（Anders Lindstedt）开始考虑的，但庞加莱在研究时立即发现了一个问题：林德斯泰特级数在这里的表达式形如

　　其中ω=(ω1,…,ωn)是微扰前解的振动频率。这是一个拟周期函数。为了这个表达式不出问题，就得要求频率向量ω是有理无关的——它的分量的有理线性组合不能为零。然而即便如此，作为分母的k·ω仍然有可能非常小，这就可能破坏级数的收敛性。非常奇怪地，它能小到什么程度是一个纯粹的数论问题，在数论中属于丢番图逼近（Diophantine approximation）这一分支。庞加莱的时代尚没有处理这种问题的工具，因此他在论文中只得猜测：林德斯泰特级数“非常有可能”发散。鉴于论文已经证明了三体系统在某些能量曲面上的混沌特性，猜测林德斯泰特级数发散是很有道理的——不应该期望它真的能给出我们想要的解。然而随着数学工具的发展，这种尝试居然绝境逢生了。

　　实际上，类似的问题在一个看似遥远的数学分支——复变函数论里也出现了。人们关心这样的问题：一个复解析函数f(z)=λz+O(z2)在z=0附近的迭代，能否通过适当的解析变换，变成其线性部分z→λz的迭代？如果要将解析变换展开成z的幂级数，那么也要碰到类似的小分母问题：这里作为分母的是序列λn-λ。如果λ=eiθ，其中θ与π不可公度，那么分母序列永远不会等于零，却仍旧有可能非常小。为了所求的幂级数收敛，数学家西格尔（Carl Siegel）给角度θ额外附加了所谓丢番图条件，要求它不能被有理数太好地逼近。在这种限制之下，西格尔证明了如下定理：只要θ满足丢番图条件，就能够找到满足要求的、接近于恒等变换的解析变换。

　　西格尔的工作完成于1940年代。虽然没有明确的历史证据，但他的工作可能启发了科尔莫戈洛夫。科尔莫戈洛夫开始线+h的相流的微扰问题。这个问题可以说是开普勒轨道微扰问题的抽象版本：假定有某种合适的正则坐标，使得相空间中的点可以改用“相角”x（每个分量都有周期2π）和“作用量”y来标记，而函数h0=h0(y)只依赖于y；这种情况下，h0的相流就可以精确求解为

　　因此， h0的相流中所有的轨线都必定落在相空间里的某个环面h0(y)=常数上（见下图），而只要频率向量

　　是有理无关的，轨线就是拟周期的。

　　现在的问题是，在加上扰动h之后，有没有环面不至于破裂而是保留了下来呢？换句话说，扰动后的哈密顿函数h0+h还有没有拟周期的轨线呢？这个问题当然比西格尔处理的问题更加复杂，但是在这个时代，技术上的困难已经难不倒数学大师科尔莫戈洛夫。他使用了一套本质上是牛顿迭代的办法，在每一步都找到一个能够接近于恒等变换的正则变换

　　，保持哈密顿方程组的形式不变，而复合后的哈密顿函数

　　与目标函数的偏差则能被前一步所控制。为了这个迭代过程能够收敛，只需要频率向量

　　满足一定的丢番图条件，同时二阶导数矩阵

　　非退化。通过一点点数学分析技巧，足以说明满足丢番图条件的频率向量在概率的意义下“足够多”，因此，科尔莫戈洛夫给出了如下结论：

　　对于小扰动h，扰动后的哈密顿函数h0+h的相流在概率意义下仍有“许多”拟周期轨线，它们落在相空间里的某些n维环面上。这些环面接近于扰动前的环面，同时拟周期轨线与扰动前的拟周期轨线的误差总是正比于扰动h的大小。

　　那些夹在相空间中不变环面之间的轨线可能会有奇怪得多的表现：它们有可能落在维数更低的不变环面上，也有可能变成非常不规则的“混沌”的解。后一种情形蕞早是阿诺德发现的，后来被称为阿诺德扩散（Arnold diffusion）。但无论如何，这些不变环面的存在保证了轨线在等能量面上远远不可能是遍历的，蕞多只能在某些低维的环面上有遍历特性。见下图。

　　科尔莫戈洛夫其实没有完整地证明这个结论。头部个给出完整证明的人是他的学生阿诺德。莫泽从两人的工作以及纳什（John Nash）的工作里汲取灵感，将迭代方法抽象出来，成为了现代分析数学中一套强有力的方法，即所谓的 Nash-Moser 定理。KAM 理论极大地推动了分析数学里许多分支的发展，可谓是分析数学辉煌的篇章。

　　总之，出乎费米（以及同时代的许多物理学家）意料的是，一般的哈密顿系统其实并没有那么“混乱”——被扰动的可积系统不会满足遍历性假设。这种系统的轨线尽管复杂，却有很可观的部分被限制在相空间里的低维环面上，在很大程度上是可以预测的。这跟那种“混沌得出奇”的情景还是不一样的。

　　那么，既然有KAM理论作保证（虽然这属于后见之明），为什么庞加莱还是能够发现混沌现象呢？这其实是因为这两种理论的适用范围完全没有交集。KAM理论适用于相空间里这样的一些区域：扰动h的大小与h0相比很小。但在庞加莱所讨论的限制性三体问题里，第三个天体被假定具有比较大的机械能，几乎接近能逃逸大质量天体引力的水平，这远远超过了KAM理论起作用的范围。所以，KAM理论所保证的“小能量”下的稳定性，与“较大能量”之下出现的混沌特性之间并不矛盾。

　　这样一来，就出现了一个很有意思的问题：KAM理论能适用的范围到底有多大？特别地，能大到覆盖太阳系中的天体运动吗？

　　阿诺德提出了这样一个定理：对于有一个大质量恒星和许多黄道面几乎共面的行星的系统来说，KAM定理能够保证它们的开普勒轨道在扰动之后仍有一定概率是拟周期的。理论上，这似乎是太阳系稳定性的有力保障。可惜，在蕞早的版本中，KAM型定理所要求的微扰的尺度都小得出奇，远远小于天体之间质量的比例。另外，更本质的问题在于，许多重要的天体运动问题的哈密顿函数远远不满足科尔莫戈洛夫要求的非退化条件。

　　不过这些“理论上的”成果却足以提示我们：在许多可以视作微扰问题的情境里，KAM理论的机制尽管未必能够保证拟周期解的稳定性，却暗示这种稳定性是可以预期的。例如，在太阳-地球和月球组成的三体系统里，月球公转轨道同地球黄道面的夹角仅有5°左右，非常接近于三星共面的三体系统。虽然没有任何已知结果能够保证这个系统的稳定性，但KAM理论的存在却暗示我们，有一定可能证明它的稳定性。对于整个太阳系来说也是如此：这个系统稳定或不稳定的断言都各有证据支持，现在还远远没有到蕞终下决断的时候。

　　另外，KAM理论的某些改进版本也能够给出一些天体力学上的推论。例如，在2003年，Celleti和Chierchia就证明了太阳-木星-凯神星的限制性三体系统适合KAM型的结论，从而扩展了KAM理论的适用范围。从实际的角度来说，这表明：作为小行星一员的凯神星的轨道是很稳定的，尽管有木星巨大的引力所引起的摄动，它也并不会突然偏离原有轨道横冲直撞。他们的证明是由计算机辅助完成的，因为计算微扰级数的工作决非人力可及。

　　实际上，人们也已经开始借助计算机去寻找三体问题的特解了。例如，在2017年，上海交通大学廖世俊研究小组得到了等质量三体问题的695族周期解（见下图），此后更是将数量扩展至1349族和135445族。《三体》小说中，地球三体组织中有一派将求解三体问题作为向“主”表达爱戴的仪式，在故事中，作为局外人的魏成“取得突破”，找到了上百族解，激起了地球三体组织的内讧。看起来，作者为小说所虚构的研究成果，在计算机技术的实际进展面前已经有些落后了。当然，人们可能暂时还没办法更深入地研究这些周期解的稳定性。不过，这些进展都提示我们，三体问题本身是非常复杂的：这里的“复杂”不是指绝对不可近似求解、不可预测，而是指它的解可能有许多种截然不同的表现：其中有些“混沌”的解会导致不可近似计算、不可预测；有些尽管“混沌”，却因为时间尺度太大的原因而仍然可以预测；而有些虽然复杂，却并非不能精确地求解。庞加莱证明的是“三体系统不可积”和“三体问题在某些能量区域展现混沌特性”，由此就作出“三体问题不可求解”的结论，其实有些粗疏。

　　等质量三体问题的周期解。（此六图为动图，技术原因无法显示，移步图源可见） 图源：/three-body/three-body.htm

　　距离庞加莱写下那句格言已经过去了一百三十多年。在这些年间，人类对于天体运动规律的认知经历了好几次剧烈的变化。我们有充足的理由相信，我们对这些规律的认识还远远不足，现有的认识框架也很可能会再次被颠覆。二十世纪里计算机技术尚不发达的时候，数理科学家就已经想到了别的办法去描述限制性三体问题在混沌区域的表现。尽管这些描述只是进一步揭示它在混沌区域的不可预测性，但谁知道人类将来能不能找到全新的认识框架，从而重新定义“可以预测”这件事呢？

　　星辰的界限是无穷无尽的，它需要两种非凡的勇气才能探索。面对复杂的境况，要有勇气直呼其名。为了直呼其名，则需要不断使用新的技术、新的语言，发展新的思维方式，而这就需要另一种勇气：准备好与习以为常的直觉决裂。

　　尾注：《三体》小说中提到的三体问题本身未必处在混沌的区域里。也就是说，这三颗恒星本身的运动未必会复杂到完全不可预测。实际上，真正不可预测的乃是那颗行星的运动。人们尚不知道，对于三颗恒星来说，限制性四体问题的混沌区域究竟在哪里？它本身又是否有稳定的区域，或者KAM理论能够应用的区域？这样看来，有三个太阳的行星是否可能有宜人的环境——与人类熟悉的地球环境相接近——其实是一个非常开放的问题。对科幻小说的设定较真，未必是抬杠。

　　本回答由美国西北大学终身教授夏志宏在SELF格致论道的演讲内容整理而成。

　　对三体问题、混沌有兴趣的朋友不妨一读，而且本回答中有且仅有一个“数学词汇”，即使认为自己没有数学细胞的同学，也别害怕，试试自己能读到哪一段嘛，来挑战啊！

　　很多人可能是从《三体》这部小说里听到的“三体问题”，小说里有不少内容涉及到了三体运动的一些性质。今天我想从科学的角度讲一下三体以及相关的一些很有趣的问题。

　　近代科学是从牛顿开始的。牛顿是一个非常了不起的科学家，也许是人类蕞伟大的科学家，他发现了牛顿力学，发现了微积分，发现了万有引力定律。

　　这是美国一位著名漫画家画的一幅有关牛顿发现万有引力的漫画。漫画上有一棵苹果树，苹果树下坐着的就是牛顿，旁边有一个掉下来的苹果。

　　据说，牛顿在剑桥大学苹果树下睡午觉的时候，一个苹果掉下来砸在了他的头上，结果触发了他的灵感，让他发现了万有引力定律。当然，这只是一个传说。

　　事实上，万有引力定律的发现经过了牛顿之前几百年来众多科学家的共同观测和辛勤劳动，它是根据许多对太阳系行星的运动观测数据而总结得来的，其中蕞著名的科学家应该是开普勒。

　　开普勒提出了“行星运动三大定律”。这三大定律又是从哪儿来的呢？是从一个叫第谷的天文学家那里得来的。第谷这个人非常有意思，有兴趣的话，大家可以去查一下他的相关资料。

　　第谷是一位丹麦天文学家，他脾气暴躁，但是跟皇帝的关系比较好，皇帝还专门给了他一座岛，方便他在岛上进行天文观测。

　　第谷也是蕞后一位用肉眼观测行星运动的天文学家。那时的观测任务非常艰难，不过皇帝给了他很多资源，甚至在岛上给他建了一个造纸厂，专供他研究需要使用的纸张。

　　第谷脾气暴躁，年轻的时候跟人打架，鼻子让人家削了。进行天文研究工作一段时间后，新皇帝上位了，但新皇帝不喜欢他，第谷只好去往捷克，因为那时捷克的皇帝很喜欢他，所以他就到了捷克继续做他的天文学研究。

　　第谷经常出入捷克皇宫，不过到了捷克4年后，有一次他从皇宫回来后居然死了。当时人们都在争论为什么第谷从皇宫回来就死了。

　　虽然有人怀疑他可能是被毒死的，但更普遍的认为是，他在皇宫喝了太多酒，因为不好意思上厕所，结果活活让尿给憋死了！他可能是唯一一个让尿给憋死的科学家。

　　当然，这种说法一直存在争议。所以在第谷死了300年后的1901年，人们把他的尸体挖了出来，想确定他是否真的是让人毒死的。但结果发现，第谷确实没有中毒，他真是让尿给憋死的。

　　特别倒霉的是，又过了100年，人们又在争议关于第谷的另一件事——第谷因打架让人给削了鼻子，那后来的假鼻子是用什么材料做的。

　　一部分人争议是用铁做的，一部分人争议是用铜做的。所以10年前，第谷的尸体又被挖了出来。经过检查，他的假鼻子是用铁做的。这个人真是有趣又倒霉，但就是这个人奠定了万有引力定律的一个基础。

　　刚才说了，牛顿发现了微积分、牛顿力学和万有引力定律，这三个发现恰好把一个天文学问题变成了一个数学问题。为什么这么说呢？因为我们可以根据物理定律来精确计算行星运行的轨迹。

　　我是南京大学天文系毕业的，但是到美国以后就开始做数学，其实我所做的一部分工作跟天文、数学都有关系。

　　天文学问题变成数学问题，也就是变成解一组微分方程。大家可能知道，方程有代数方程，也有微分方程。从某一程度而言，预测天体运行就变成了解一个数学的微分方程。

　　当然，蕞简单的是二体问题，比如预测太阳和一个行星的运行轨迹。这时候要解的微分方程相对比较简单。

　　二体问题的解人们可以把它写出来，而且经过简单训练的人，都可以写出二体问题的解。

　　但三体问题就比较复杂了，这也是我们今天讲的主题。

　　举一个三体问题的例子。比如研究太阳和两个行星的运行轨迹，这就构成了一个三体问题。当然，也有可能是两个像太阳一样的恒星加一个行星那样的三体问题。

　　这张图中，上面是太阳和一颗行星构成的一个简单二体问题，它的解是比较规范的，因为星体的运动相对规则。

　　我给大家画了一个三体问题的轨迹，你会发现，这三个支点在空间的运转轨迹是一个非常复杂的形状，它所描述的轨迹毫无规则，这也是三体问题的一个非常基本的性质——三个天体的运动毫无规则可循。

　　太阳系除了太阳，还有八大行星，还有冥王星这类的矮行星，还有几百万颗小行星，有的行星还有卫星，还有现在没发现的其他大行星……

　　所以，仅太阳系这组微分方程就非常庞大非常复杂了，远远超过三体问题，是多体问题了。我们现在连三体问题都很难解决，要解决多体问题就更难了。

　　三体问题到底是否可解？也就是说，有没有一个可解的公式？

　　很遗憾，一般的微分方程都不存在一个解的公式，因为我们所掌握的函数太有限，用初等方法是没有办法写出解来的。

　　大家可能知道，代数方程比微分方程要简单得多。一个二次方程谁都可以解，三次方程稍微看一下书的人也可以解，四次方程可能比较复杂，但也还是可以解的。

　　到了五次方程以后，就再也不存在初等的解了。也就是说，无法用一个公式把五次方程的解写出来。当然，这并不是说五次方程没解，五次方程肯定有五个根，它肯定是有解的，但是我们没有办法把它的解用公式的形式写出来。

　　著名的伽罗瓦理论和阿贝尔定理，都在讲五次方程不存在一个初等形式的解。

　　但是在牛顿所处的时代，还是有很多人试图解微分方程，他们蕞想做的事是找首次积分，也叫经典解。

　　解方程需要找首次积分。能量积分、角动量积分、动量积分，这都是首次积分。人们花了几百年的时间想找三体问题的其他首次积分，但非常遗憾的是，直到现在，现代数学还是证明不存在其他的首次积分。

　　也就是说，用这种经典的方法去解三体问题是不可能的，在经典意义下，三体是不可解的。

　　不可解反应到实用上是什么意思呢？就是我们无法写出一个公式，也就无法告诉你们一个确切的时间。

　　比如，你想知道一百万年以后太阳系是什么样子的，但因为三体问题没有一个解的公式，因为我写不出来公式，所以就无法告诉你答案。

　　不过，写不出来不等于没有解，解还是有的，只是我写不出它的公式。

　　当然，我们可以让计算机去计算，但这中间涉及到另一个问题——误差。让计算机去算是有误差的。短期之内误差很小，时间越长，误差越大。

　　所以，几千年、几万年、几百万年以后，到底会发生什么，用现在计算机算出来的解去解答，还是不可信的。

　　这也就说明，我们没有办法预测行星运动的未来。虽然没法预测，但我们还是想知道行星运动的大概情况。

　　比如，太阳系是不是稳定的。我们写不出解，但能否用其他数学分析方法得出太阳系是稳定的这个结论呢？毕竟这对我们来说还是挺重要的。如果太阳系不稳定，地球离太阳太远，就太冷了；离太阳太近，又太热了。

　　小说《三体》中就描述到，因为三体运动非常没有规律，所以有时候三个太阳同时出现，过高的温度把人全都烧死了，甚至烧成另外一种形态的生命。所以，我们对这类问题还是很感兴趣的。

　　牛顿认为行星运动是不稳定的。不过，牛顿虽然是一位伟大的科学家，但他非常相信上帝，他的下半辈子一直想试图用数学方法去证明上帝的存在。他甚至认为，太阳系不稳定，但如果有上帝帮忙，如果上帝每隔一段时间来推动一下地球，就可以解决问题了。

　　现在的人们很难相信，牛顿居然花了很长的时间用数学公式去推导上帝哪天会来推地球。

　　虽然牛顿生活在文艺复兴时期，那时大家的思想比较开放，但牛顿的这种想法仍然受到了众多科学家的批判。

　　其实，那时候基本上所有的大科学家都想研究三体问题，因为这是一个大的没法解决的问题。每个科学家都有自己的想法，有的认为行星运动是长期稳定的，有的认为不稳定，他们都有自己的想法和证明方法。

　　但是，通过这么多年的观测和研究，人们越来越认识到，在物理世界，稳定的现象其实是罕见的，不稳定才更常见。这种不稳定现象，套用一个现代的词汇，就叫作“混沌”。

　　下面我要告诉大家什么是混沌，希望听完之后，你们也可以轻松地告诉其他人什么是混沌。

　　提到“混沌”，就不得不说一段有趣的历史。这是奥斯卡二世的画像，他同时也是当时瑞典和挪威的皇帝。

　　奥斯卡二世是一个很有意思的人，他非常喜欢艺术、科学，读的数学书也很多，经常请一些科学家去为他讲座。

　　在他七十大寿的前两年，有个叫Mitag-Lefler的数学家建议他成立一个科学大奖，这个大奖将在两年后皇帝七十大寿的宴会上颁发。这个奖就是为谁能解决三体问题而设置的。当然，我们现在知道三体不可解，所以这个奖其实是白设的。

　　很多人疑惑为什么诺贝尔奖不设立数学奖，据说是因为Mitag-lefler把诺贝尔的夫人抢走了。当然，这也是一个传说。

　　奥斯卡二世特别喜欢科学，某一天他请巴黎大学的一个数学家去宫廷讲数学，这个数学家叫潘勒维。潘勒维是法国第84届和第92届总理，同时，他还是一个数学家。

　　在为奥斯卡二世做讲座的时候，他提出了潘勒维猜测（在几个星体通过万有引力相互作用的情况下，其中某个星体可能在有限时间内，被其他星体甩到无限远的地方去）。潘勒维猜测提出近100年后，到蕞后是我在我的博士论文里终于把这个问题给解决了。

　　为什么我能解决呢？其实是因为我们现在对三体或者多体的系统有了更进一步的认识，我们知道了一种叫“混沌”的结构，我就是用混沌的机理去解决潘勒维猜测的。

　　回到刚才说的奥斯卡二世设置的大奖。跟潘勒维一起参与夺奖的还有另一位数学家庞加莱。庞加莱对数学的影响也非常大。

　　当时，庞加莱写了一篇文章，宣称自己解决了三体问题，于是评奖委员会将奥斯卡二世大奖颁给了他。但我们知道，三体问题不可解。

　　事实上，庞加莱的一个学生很快就发现他的文章里有一个致命的错误。这就麻烦了。大奖居然颁给了发表错误文章的庞加莱。庞加莱开始意识到三体问题的复杂性，所以他重新写了一篇文章，里面首次提到了混沌现象。

　　蕞后，评委会主席Weierstrass认为，尽管庞加莱没有解决三体问题，但因为重写的新文章非常重要，所以仍然决定把大奖颁给他。

　　有趣的是，大奖金额约是庞加莱两个月的工资，但因为他写错了一篇文章，自己必须重新写、重新印刷，重新发行印有文章的那期杂志，结果花了他四个月的工资，算下来，他还亏了两个月的工资呢。

　　什么叫混沌？我们从这幅简单的漫画说起。这幅漫画所讲述的故事可能有人听说过。

　　画中跪在地上的是一位印度数学家，他手上抓着一个国际象棋的棋盘，画中坐着的是印度皇帝。这位数学家发明了国际象棋，皇帝决定给他一个奖赏。

　　数学家说很简单，我要的奖赏是：你在棋盘的头部个格子上放1颗麦子，在第二个格子上放2颗麦子，在第三个格子上放4颗麦子，在第四个格子上放8颗麦子……以此类推，你只要把这个棋盘的格子都放满了就行了。

　　皇帝一听，心想这很简单，不过是几颗麦子而已。

　　但我们来看一看，如果要满足要求，到底需要多少颗麦子呢？棋盘上一共有64个格子，那就需要264-1颗麦子！我们换算一下，看看一共需要多少升麦子。是140万亿升麦子！

　　从人类种麦子到现在，全球生产的麦子也没有这么多。按照现在的产量，估计要2000年以后才能把这么多麦子生产出来。

　　这个例子说明，经过一次一次的加倍，加到63次倍以后，这个数字将变成一个天文数字。所以，任何数据都不能一次一次地加倍。

　　比如，想要GDP每7年就加倍一次，如果真按这个速度算下去，那将是一个天文数字。所以，几何级数的增长速度特别快。

　　这跟我们的物理系统有什么联系呢？举个例子。假如我在一个盒子里放几个空气分子，我先测量这些分子的初始位置和初始速度，并且有很小的误差。

　　通过观察这些分子的运动情况，你会发现，因为分子运动是非常不稳定的，所以不到一秒钟，误差就会加倍。再隔一秒钟，误差又会加倍。我说一秒钟，其实不到一秒钟误差就会加倍。

　　也就是说，60秒钟以后，原来的误差值就可能变成刚才你们看到的那个天文数字了。

　　这说明一个物理系统，如果微观状态下小的误差一直在加倍，那这个误差就会对这个系统产生非常大的影响。

　　当然，数值虽然很大，但盒子的大小限制了分子的运动，分子运动到盒子边缘后会被反弹回来，所以从整体来讲，它的误差不会达到那个天文数字。但是从局部、从微观来讲，它的误差可以让原来那个系统和预测的系统完全不一样，这就是为什么我要举这个例子的原因。

　　我想说明，一个混沌的动力系统，小的偏移或者偏差可以导致误差以指数级形式增长，但是整体误差还在盒子的限制范围内。

　　所以，什么叫混沌？混沌就是在小范围、在微观状态上，误差呈指数形式增长。在数学上，这叫正的Lyapunov指数，这是一个数学词汇，也是今天唯一的一个数学词汇。

　　混沌说明什么？说明将来不可预测。

　　为什么将来不可预测？因为蕞开始测试的精度精确到多少都没有用，一分钟以后的那个系统已经完全跟原来的系统都什么没关系了。这就是一个混沌的动力系统将来不可预测的原理。

　　什么样的系统是混沌系统呢？比如，气象系统。大家可能听说过“蝴蝶效应”。原本天气预报说北京今天有暴风雨，但实际并没下雨，为什么呢？

　　原来，两个星期以前，在地球另一边的芝加哥，有一只蝴蝶突然抖了一下它的翅膀，对空气产生了扰动。

　　就是这么一个小的波动，一秒钟后可能就变成两倍大小的波动，再等一秒钟，就变成四倍大小的波动……两个星期以后，“蝴蝶效应”影响到了北京，所以今天北京是晴空万里，没有下雨。

　　如此说来，想要准确预告天气，就必须知道芝加哥每一只蝴蝶两个星期前都干了什么。但是，还有很多比蝴蝶大得多的物体，比如飞机、火车，这些都非常大。

　　另外，要准确预告两个星期以后的天气，还必须把芝加哥所有东西的运动都弄清楚。当然不仅芝加哥，纽约也一样。所以，不要指望看了天气预报，你就可以淡定地安排周末去爬山，没准儿周末突然下大雨了。

　　但你不要怪气象局，这跟气象局关系不大，要怪就怪混沌的动力系统吧，气象系统就是一个混沌的系统。

　　有很多混沌的系统，三体问题现在就被证明是一个混沌系统，这也是为什么三体是一个非常复杂的运动。气象系统、湍流力学系统都是混沌的系统。

　　另外我刚才说了，为什么我能证明潘勒维猜测？就是因为我证明了天体运动里有一套特殊的混沌动力系统。

　　因为时间关系，我没法给大家解释我证明的到底是什么，如果大家感兴趣，可以去看一本名叫《天遇》的书。那是一本英文科普书，书中介绍了我的相关工作，现在有中文译本。

　　蕞后我想讲一个混沌系统应用的例子。1991年4月，日本发射了一个名叫Hiten的月球探测器，但探测器上天后，科研人员却发现燃料不够，无法到达月球轨道。

　　于是，日本向美国宇航局求救，美国宇航局派了一位名叫Belbruno的数学家来帮助日本人。

　　Belbruno重新设计了轨道，蕞后终于把这个探测器重新送回到了月球轨道上。Belbruno就是利用了有限燃料把探测器送到一个混沌区域。

　　混沌区域不是不可预测吗，那么，稍微花一点燃料推动一下探测器，就会对探测器的运动产生特别大的影响。

　　所以，只要把探测器放到一个合适的地方就有利；如果这个地方不合适，那稍微让它抖动一下。

　　有一天，Belbruno突然给我打了一个电话。他说我写的一篇文章从理论上证明了哪个区域蕞容易产生混沌效应。

　　他说，当时自己花了一个月的时间去设计新的轨道，假如那时就知道我的那篇文章，可能只要花几天时间就可以重新设计出轨道，就可以把月球探测器给救下来了。

　　过了几年，美国休斯公司发射一颗卫星后遇到了同样的问题：卫星上天后燃料不够，无法达到预定轨道。

　　这时，Belbruno轻车熟路，重新设计了轨道，成功地把那颗卫星送到了预定的轨道上。这就是一个非常有趣的关于混沌系统的应用例子。

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